git.sesse.net Git - foosball/blob - foosrank.cpp

   1 #include <stdio.h>
   2 #include <math.h>
   3 #include <assert.h>
   4
   5 #include <vector>
   6 #include <algorithm>
   7
   8 // step sizes
   9 static const double int_step_size = 50.0;
  10 static const double pdf_step_size = 10.0;
  11
  12 // rating constant (see below)
  13 static const double rating_constant = 455.0;
  14
  15 using namespace std;
  16
  17 double prob_score(int k, double a, double rd);
  18 double prob_score_real(int k, double a, double prodai, double kfac, double rd_norm);
  19 double prodai(int k, double a);
  20 double fac(int x);
  21
  22 // probability of match ending k-a (k>a) when winnerR - loserR = RD
  23 //
  24 //   +inf
  25 //     /
  26 //    |
  27 //    | Poisson[lambda1, t](a) * Erlang[lambda2, k](t) dt
  28 //    |
  29 //   /
  30 // -inf
  31 //
  32 // where lambda1 = 1.0, lambda2 = 2^(rd/455)
  33 //
  34 // The constant of 455 is chosen carefully so to match with the
  35 // Glicko/Bradley-Terry assumption that a player rated 400 points over
  36 // his/her opponent will win with a probability of 10/11 =~ 0.90909.
  37 //
  38 double prob_score(int k, double a, double rd)
  39 {
  40         return prob_score_real(k, a, prodai(k, a), fac(k-1), rd/rating_constant);
  41 }
  42
  43 // Same, but takes in Product(a+i, i=1..k-1) and (k-1)! as an argument in
  44 // addition to a. Faster if you already have that precomputed, and assumes rd
  45 // is already divided by 455.
  46 double prob_score_real(int k, double a, double prodai, double kfac, double rd_norm)
  47 {
  48         double nom = prodai * pow(2.0, rd_norm * a);
  49         double denom = kfac * pow(1.0 + pow(2.0, rd_norm), k+a);
  50         return nom/denom;
  51 }
  52
  53 // Calculates Product(a+i, i=1..k-1) (see above).
  54 double prodai(int k, double a)
  55 {
  56         double prod = 1.0;
  57         for (int i = 1; i < k; ++i)
  58                 prod *= (a+i);
  59         return prod;
  60 }
  61
  62 double fac(int x)
  63 {
  64         double prod = 1.0;
  65         for (int i = 2; i <= x; ++i)
  66                 prod *= i;
  67         return prod;
  68 }
  69
  70 //
  71 // Computes the integral
  72 //
  73 //   +inf
  74 //    /
  75 //    |
  76 //    | ProbScore[a] (r2-r1) Gaussian[mu2, sigma2] (dr2) dr2
  77 //    |
  78 //   /
  79 // -inf
  80 //
  81 // For practical reasons, -inf and +inf are replaced by 0 and 3000, which
  82 // is reasonable in the this context.
  83 //
  84 // The Gaussian is not normalized.
  85 //
  86 // Set the last parameter to 1.0 if player 1 won, or -1.0 if player 2 won.
  87 // In the latter case, ProbScore will be given (r1-r2) instead of (r2-r1).
  88 //
  89 static inline double evaluate_int_point(int k, double a, double prodai_precompute, double kfac_precompute, double r1, double mu2, double sigma2, double winfac, double x);
  90
  91 double opponent_rating_pdf(int k, double a, double r1, double mu2, double sigma2, double winfac)
  92 {
  93         double prodai_precompute = prodai(k, a);
  94         double kfac_precompute = fac(k-1);
  95         winfac /= rating_constant;
  96
  97         int n = int(3000.0 / int_step_size + 0.5);
  98         double h = 3000.0 / double(n);
  99         double sum = evaluate_int_point(k, a, prodai_precompute, kfac_precompute, r1, mu2, sigma2, winfac, 0.0);
 100
 101         for (int i = 1; i < n; i += 2) {
 102                 sum += 4.0 * evaluate_int_point(k, a, prodai_precompute, kfac_precompute, r1, mu2, sigma2, winfac, i * h);
 103         }
 104         for (int i = 2; i < n; i += 2) {
 105                 sum += 2.0 * evaluate_int_point(k, a, prodai_precompute, kfac_precompute, r1, mu2, sigma2, winfac, i * h);
 106         }
 107         sum += evaluate_int_point(k, a, prodai_precompute, kfac_precompute, r1, mu2, sigma2, winfac, 3000.0);
 108
 109         return (h/3.0) * sum;
 110 }
 111
 112 static inline double evaluate_int_point(int k, double a, double prodai_precompute, double kfac_precompute, double r1, double mu2, double sigma2, double winfac, double x)
 113 {
 114         double probscore = prob_score_real(k, a, prodai_precompute, kfac_precompute, (x - r1)*winfac);
 115         double z = (x - mu2)/sigma2;
 116         double gaussian = exp(-(z*z/2.0));
 117         return  probscore * gaussian;
 118 }
 119
 120 // normalize the curve so we know that A ~= 1
 121 void normalize(vector<pair<double, double> > &curve)
 122 {
 123         double peak = 0.0;
 124         for (vector<pair<double, double> >::const_iterator i = curve.begin(); i != curve.end(); ++i) {
 125                 peak = max(peak, i->second);
 126         }
 127
 128         double invpeak = 1.0 / peak;
 129         for (vector<pair<double, double> >::iterator i = curve.begin(); i != curve.end(); ++i) {
 130                 i->second *= invpeak;
 131         }
 132 }
 133
 134 // computes matA * matB
 135 void mat_mul(double *matA, unsigned ah, unsigned aw,
 136              double *matB, unsigned bh, unsigned bw,
 137              double *result)
 138 {
 139         assert(aw == bh);
 140         for (unsigned y = 0; y < bw; ++y) {
 141                 for (unsigned x = 0; x < ah; ++x) {
 142                         double sum = 0.0;
 143                         for (unsigned c = 0; c < aw; ++c) {
 144                                 sum += matA[c*ah + x] * matB[y*bh + c];
 145                         }
 146                         result[y*bw + x] = sum;
 147                 }
 148         }
 149 }
 150
 151 // computes matA^T * matB
 152 void mat_mul_trans(double *matA, unsigned ah, unsigned aw,
 153                    double *matB, unsigned bh, unsigned bw,
 154                    double *result)
 155 {
 156         assert(ah == bh);
 157         for (unsigned y = 0; y < bw; ++y) {
 158                 for (unsigned x = 0; x < aw; ++x) {
 159                         double sum = 0.0;
 160                         for (unsigned c = 0; c < ah; ++c) {
 161                                 sum += matA[x*ah + c] * matB[y*bh + c];
 162                         }
 163                         result[y*bw + x] = sum;
 164                 }
 165         }
 166 }
 167
 168 void print3x3(double *M)
 169 {
 170         printf("%f %f %f\n", M[0], M[3], M[6]);
 171         printf("%f %f %f\n", M[1], M[4], M[7]);
 172         printf("%f %f %f\n", M[2], M[5], M[8]);
 173 }
 174
 175 void print3x1(double *M)
 176 {
 177         printf("%f\n", M[0]);
 178         printf("%f\n", M[1]);
 179         printf("%f\n", M[2]);
 180 }
 181
 182 // solves Ax = B by Gauss-Jordan elimination, where A is a 3x3 matrix,
 183 // x is a column vector of length 3 and B is a row vector of length 3.
 184 // Destroys its input in the process.
 185 void solve3x3(double *A, double *x, double *B)
 186 {
 187         // row 1 -= row 0 * (a1/a0)
 188         {
 189                 double f = A[1] / A[0];
 190                 A[1] = 0.0;
 191                 A[4] -= A[3] * f;
 192                 A[7] -= A[6] * f;
 193
 194                 B[1] -= B[0] * f;
 195         }
 196
 197         // row 2 -= row 0 * (a2/a0)
 198         {
 199                 double f = A[2] / A[0];
 200                 A[2] = 0.0;
 201                 A[5] -= A[3] * f;
 202                 A[8] -= A[6] * f;
 203
 204                 B[2] -= B[0] * f;
 205         }
 206
 207         // row 2 -= row 1 * (a5/a4)
 208         {
 209                 double f = A[5] / A[4];
 210                 A[5] = 0.0;
 211                 A[8] -= A[7] * f;
 212
 213                 B[2] -= B[1] * f;
 214         }
 215
 216         // back substitute:
 217
 218         // row 1 -= row 2 * (a7/a8)
 219         {
 220                 double f = A[7] / A[8];
 221                 A[7] = 0.0;
 222
 223                 B[1] -= B[2] * f;
 224         }
 225
 226         // row 0 -= row 2 * (a6/a8)
 227         {
 228                 double f = A[6] / A[8];
 229                 A[6] = 0.0;
 230
 231                 B[0] -= B[2] * f;
 232         }
 233
 234         // row 0 -= row 1 * (a3/a4)
 235         {
 236                 double f = A[3] / A[4];
 237                 A[3] = 0.0;
 238
 239                 B[0] -= B[1] * f;
 240         }
 241
 242         // normalize
 243         x[0] = B[0] / A[0];
 244         x[1] = B[1] / A[4];
 245         x[2] = B[2] / A[8];
 246 }
 247
 248 // Give an OK starting estimate for the least squares, by numerical integration
 249 // of statistical moments.
 250 void estimate_musigma(vector<pair<double, double> > &curve, double &mu_result, double &sigma_result)
 251 {
 252         double h = (curve.back().first - curve.front().first) / (curve.size() - 1);
 253
 254         double area = curve.front().second;
 255         double ex = curve.front().first * curve.front().second;
 256         double ex2 = curve.front().first * curve.front().first * curve.front().second;
 257
 258         for (unsigned i = 1; i < curve.size() - 1; i += 2) {
 259                 double x = curve[i].first;
 260                 double y = curve[i].second;
 261                 area += 4.0 * y;
 262                 ex += 4.0 * x * y;
 263                 ex2 += 4.0 * x * x * y;
 264         }
 265         for (unsigned i = 2; i < curve.size() - 1; i += 2) {
 266                 double x = curve[i].first;
 267                 double y = curve[i].second;
 268                 area += 2.0 * y;
 269                 ex += 2.0 * x * y;
 270                 ex2 += 2.0 * x * x * y;
 271         }
 272
 273         area += curve.back().second;
 274         ex += curve.back().first * curve.back().second;
 275         ex2 += curve.back().first * curve.back().first * curve.back().second;
 276
 277         area = (h/3.0) * area;
 278         ex = (h/3.0) * ex / area;
 279         ex2 = (h/3.0) * ex2 / area;
 280
 281         mu_result = ex;
 282         sigma_result = sqrt(ex2 - ex * ex);
 283 }
 284
 285 // Find best fit of the data in curves to a Gaussian pdf, based on the
 286 // given initial estimates. Works by nonlinear least squares, iterating
 287 // until we're below a certain threshold.
 288 //
 289 // Note that the algorithm blows up quite hard if the initial estimate is
 290 // not good enough. Use estimate_musigma to get a reasonable starting
 291 // estimate.
 292 void least_squares(vector<pair<double, double> > &curve, double mu1, double sigma1, double &mu_result, double &sigma_result)
 293 {
 294         double A = 1.0;
 295         double mu = mu1;
 296         double sigma = sigma1;
 297
 298         // column-major
 299         double matA[curve.size() * 3];  // N x 3
 300         double dbeta[curve.size()];     // N x 1
 301
 302         // A^T * A: 3xN * Nx3 = 3x3
 303         double matATA[3*3];
 304
 305         // A^T * dβ: 3xN * Nx1 = 3x1
 306         double matATdb[3];
 307
 308         double dlambda[3];
 309
 310         for ( ;; ) {
 311                 //printf("A=%f mu=%f sigma=%f\n", A, mu, sigma);
 312
 313                 // fill in A (depends only on x_i, A, mu, sigma -- not y_i)
 314                 for (unsigned i = 0; i < curve.size(); ++i) {
 315                         double x = curve[i].first;
 316
 317                         // df/dA(x_i)
 318                         matA[i + 0 * curve.size()] =
 319                                 exp(-(x-mu)*(x-mu)/(2.0*sigma*sigma));
 320
 321                         // df/dµ(x_i)
 322                         matA[i + 1 * curve.size()] =
 323                                 A * (x-mu)/(sigma*sigma) * matA[i + 0 * curve.size()];
 324
 325                         // df/dσ(x_i)
 326                         matA[i + 2 * curve.size()] =
 327                                 matA[i + 1 * curve.size()] * (x-mu)/sigma;
 328                 }
 329
 330                 // find dβ
 331                 for (unsigned i = 0; i < curve.size(); ++i) {
 332                         double x = curve[i].first;
 333                         double y = curve[i].second;
 334
 335                         dbeta[i] = y - A * exp(- (x-mu)*(x-mu)/(2.0*sigma*sigma));
 336                 }
 337
 338                 // compute a and b
 339                 mat_mul_trans(matA, curve.size(), 3, matA, curve.size(), 3, matATA);
 340                 mat_mul_trans(matA, curve.size(), 3, dbeta, curve.size(), 1, matATdb);
 341
 342                 // solve
 343                 solve3x3(matATA, dlambda, matATdb);
 344
 345                 A += dlambda[0];
 346                 mu += dlambda[1];
 347                 sigma += dlambda[2];
 348
 349                 // terminate when we're down to three digits
 350                 if (fabs(dlambda[0]) <= 1e-3 && fabs(dlambda[1]) <= 1e-3 && fabs(dlambda[2]) <= 1e-3)
 351                         break;
 352         }
 353
 354         mu_result = mu;
 355         sigma_result = sigma;
 356 }
 357
 358 void compute_new_rating(double mu1, double sigma1, double mu2, double sigma2, int score1, int score2, double &mu, double &sigma)
 359 {
 360         vector<pair<double, double> > curve;
 361
 362         if (score1 > score2) {
 363                 for (double r1 = 0.0; r1 < 3000.0; r1 += pdf_step_size) {
 364                         double z = (r1 - mu1) / sigma1;
 365                         double gaussian = exp(-(z*z/2.0));
 366                         curve.push_back(make_pair(r1, gaussian * opponent_rating_pdf(score1, score2, r1, mu2, sigma2, 1.0)));
 367                 }
 368         } else {
 369                 for (double r1 = 0.0; r1 < 3000.0; r1 += pdf_step_size) {
 370                         double z = (r1 - mu1) / sigma1;
 371                         double gaussian = exp(-(z*z/2.0));
 372                         curve.push_back(make_pair(r1, gaussian * opponent_rating_pdf(score2, score1, r1, mu2, sigma2, -1.0)));
 373                 }
 374         }
 375
 376         double mu_est, sigma_est;
 377         normalize(curve);
 378         estimate_musigma(curve, mu_est, sigma_est);
 379         least_squares(curve, mu_est, sigma_est, mu, sigma);
 380 }
 381
 382 int main(int argc, char **argv)
 383 {
 384         double mu1 = atof(argv[1]);
 385         double sigma1 = atof(argv[2]);
 386         double mu2 = atof(argv[3]);
 387         double sigma2 = atof(argv[4]);
 388
 389         if (argc > 6) {
 390                 int score1 = atoi(argv[5]);
 391                 int score2 = atoi(argv[6]);
 392                 double mu, sigma;
 393                 compute_new_rating(mu1, sigma1, mu2, sigma2, score1, score2, mu, sigma);
 394                 printf("%f %f\n", mu, sigma);
 395         } else {
 396                 int k = atoi(argv[5]);
 397
 398                 // assess all possible scores
 399                 for (int i = 0; i < k; ++i) {
 400                         double newmu1, newmu2, newsigma1, newsigma2;
 401                         compute_new_rating(mu1, sigma1, mu2, sigma2, k, i, newmu1, newsigma1);
 402                         compute_new_rating(mu2, sigma2, mu1, sigma1, i, k, newmu2, newsigma2);
 403                         printf("%u-%u,%f,%+f,%+f\n",
 404                                 k, i, prob_score(k, i, mu2-mu1), newmu1-mu1, newmu2-mu2);
 405                 }
 406                 for (int i = k; i --> 0; ) {
 407                         double newmu1, newmu2, newsigma1, newsigma2;
 408                         compute_new_rating(mu1, sigma1, mu2, sigma2, i, k, newmu1, newsigma1);
 409                         compute_new_rating(mu2, sigma2, mu1, sigma1, k, i, newmu2, newsigma2);
 410                         printf("%u-%u,%f,%+f,%+f\n",
 411                                 i, k, prob_score(k, i, mu1-mu2), newmu1-mu1, newmu2-mu2);
 412                 }
 413         }
 414 }
 415